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Zusatzkurs Differentialgleichungen

An dieser Stelle soll der Inhalt des Zusatzkurses Differentialgleichungen ein wenig näher vorgestellt werden. 

Was ist überhaupt eine Differentialgleichung?

Bei einer Differentialgleichung handelt es sich um eine Gleichung, deren Lösung keine Zahl, sondern eine Funktion oder sogar eine Funktionenschar darstellt. Dabei besteht eine Differentialgleichung aus einer Funktion und einer oder mehrerer ihrer Ableitungen.

Wozu brauche ich das?

Differentialgleichungen haben zahlreiche Anwendungen in den verschiedensten Disziplinen wie der Physik, Biologie oder Wirtschaft. So werden beispielsweise Planetenbewegungen, Räuber-Beute-Populationsschwankungen oder auch der Verlauf von Aktienkursen in Form von Differentialgleichungen modelliert.

Ein Beispiel für eine Differentialgleichung ist der Prozess des exponentiellen Zerfalls oder Wachstums. Stell dir vor, du hast eine Menge von etwas – sagen wir, Bälle in einer Kiste oder Bakterien in einer Petrischale. Die Rate, mit der diese Menge abnimmt oder zunimmt, hängt von der aktuellen Größe der Menge ab. Wenn die Menge größer ist, nimmt sie schneller ab oder zu. Diese Art von Veränderung ist charakteristisch für viele natürliche Prozesse, wie zum Beispiel radioaktiven Zerfall oder das Wachstum von Bakterienkulturen. Diese Zusammenhänge können durch Differentialgleichungen beschrieben werden, die uns helfen, die Veränderung im Laufe der Zeit zu verstehen.

Und was passiert im Zusatzkurs?

Nun ist es so, dass es nicht das eine Verfahren gibt, mit dem sich jede beliebige Differentialgleichung lösen lässt. Vielmehr gibt es Typen von Differentialgleichungen, die z. T. sehr unterschiedliche Verfahren zu ihrer Lösung benötigen.

 Im Verlauf des Halbjahres lernen wir diese kennen und schauen uns die zugehörigen Lösungsschemata an, wobei wir uns hauptsächlich auf Differentialgleichungen erster Ordnung konzentrieren, also solche, deren höchste vorkommende Ableitung die erste ist, z. B.:

  • Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
  • Lineare Differentialgleichungen
  • Bernoulli- und Riccati-Differentialgleichungen
  • Homogene Differentialgleichungen
  • weitere Sonderformen

Darüber hinaus schauen wir uns Möglichkeiten der graphischen Lösung von Differentialgleichungen und versuchen auch in Form von Experimenten, eigene Differentialgleichung aufzustellen.

Außerdem schauen wir uns in Form von Vorträgen auch Anwendungen von Differentialgleichungen an